لا يوجد ما يُسمى بـ«الصغير إلى ما لا نهاية»
تنطبق نظرية فيثاغورس أيضًا على الأعداد الصغيرة إلى ما لا نهاية، لأن
الشرح
If you want to get from A to B, you can walk 1 km east and then 1 km north. You will then cover 2 km.
B 1 km A 1 km
If you first walk to the east, then to the north, and so on, the distance travelled remains 2 km.
B A
Even if you make the sections shorter and shorter, the distance travelled remains 2 km.
B A
No matter how small you make the sections, the distance remains the same.
B A
Only when you take the diagonal does the distance become smaller. You then don't walk first to the east and then to the north, but directly to the north-east. You cover in that way only 1.414213562… km.
B A
You might expect that if the sections become infinitely small, then the distance traveled must still remain 2 km. But that is a fallacy. Also in an infinitesimal square, the ratio of the infinitesimal side to the infinitesimal diagonal is 1 : √2.
Infinitely small does not exist and infinity is not a number. You may calculate with it, but of course you must do it correctly.
Deutsch Español Français Nederlands 中文 Русский
< 1 >
Oneindig is geen getal
Met oneindig mag je rekenen. Het is geen getal, en daar moet je in berekeningen zorgvuldig rekening mee houden.
Uitleg
De berekening
.gif){kind=small}
is fout, want het juiste resultaat is namelijk het getal e = 2,7182…. Maar waar zit de fout nu precies? Rekenen we nog eens opnieuw, en kijken wat er gebeurt
en schrijven
Blijkbaar is ∞ + 1 toch iets groter dan ∞. Dat zou een verklaring kunnen zijn. Er geldt echter
We zitten dus nog niet op de goede weg. Daarom rekenen we eerst met gewone getallen, en gebruiken onze rekenmachine
Het resultaat is tot op 1 plaats achter de komma nauwkeurig. Als we met 1.000.000 rekenen, wordt het resultaat nog nauwkeuriger. Je kunt steeds verder gaan, met nog grotere getallen, er ontstaan steeds meer plaatsen achter de komma, en dat houdt nooit op. Waarom ging dit nu eigenlijk niet goed met oneindig? De grote fout werd al direct in het begin gemaakt, want de opgave moet geschreven worden als
omdat het om een limiet gaat. Maar zo mag je niet werken met haakjes. En daarna ging het weer fout, want
klopt ook niet. Oneindig gedeeld door oneindig is onbepaald. Ja, hier zie je duidelijk dat oneindig geen getal is, en dat je andere rekenregels moet gebruiken.